Laurea Magistrale in Matematica

I anno, I semestre A.A. 2011/2012

Denominazione del corso:

Fisica

Codice: F0075

CFU: 9

Docente: Sergio Ciuchi


Programma Sintetico

Programma Dettagliato

Introduzione

  1. Presentazione del corso. Equazioni di Maxwell ed equazione d'onda in assenza di cariche o correnti, onde piane, rappresentazione complessa, interferenza
  2. Interferenza, sovrapposizione incoerente, corda vibrante discretizzazione da confinamento, il Laplaciano come operatore lineare, autovalori ed autovettori come soluzione dell'equazione d'onda, scale quantistiche, relazini di De Broglie
  3. Instabilità della materia classica, stime del tempo di caduta sul nucleo, relazioni di De Broglie velocità di gruppo di un onda ed impulso della particella, equazione di Schrödinger
  4. Diffrazione di materia da una fenditura, dualismo particella/onda interferenza. Esperimenti ideali con polarizzatori di Stern-Gerlach, lo stato quantistico di una particella.
Formalismo
  1. Lo stato astratto notazione di Dirac, il prodotto scalare, basi nello spazio degli stati, rappresentazione di uno stato in una base, completezza, operatori lineari, operatori autoaggiunti
  2. Grandezze fisiche ed operatori hermitiani, autovalori come risultati di una misura, interpretazione probabilistica dello stato quantistico
  3. Basi nello spettro continuo, la "funzione" delta di Dirac, Operatori autoaggiunti con spettro continuo, la coordinata in Meccanica Quantistica, lo stato quantomeccanico nella rappresentazione della coordinata, la funzione d'onda ed il suo significato fisico, prodotto scalare ed elementi di matrice nella rappresentazione della coordinata.
  4. L'impulso come generatore infinitesimo della traslazione in meccanica classica, richiami sulle trasformazioni canoniche in meccanica classica e funzione generatrice. L'impulso in Meccanica Quantistica come generatore infinitesimo delle traslazioni, autofunzioni dell'impulso e loro normalizzazione.
  5. Completezza della base degli impulsi, stato espresso in termini delle autofunzioni dell'impulso, distribuzione degli impulsi, relazione con la trasformata di Fourier, esponenziale di un operatore, traslazione finita, supe proprietà, commutatività del gruppo delle traslazioni.
Equazione di Scroedinger
  1. Hamiltoniano come generatore infinitesimo delle traslazioni temporali, equazione di Schrödinger per lo stato astratto e nella rappresentazioine della coordinata. Traslazione temporale finita, evoluzione temporale dello stato. Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo, rappresentazione dell'energia.
  2. Misure in MQ, grandezze compatibili, esistenza di una base comune per grandezze commutanti, proncipio di indeterminazione generalizzato, grandezze canonicamente coniugate un meccanica quantistica e loro prodotto di indeterminazione, caso dello stato gaussiano.
  3. Buca di potenziale infinita, stati legati, buca di potenziale finita.
  4. Pacchetto gaussiano,pacchetto a velocità non nulla, distribuzione degli impulsi, evoluzione temporale, evoluzione dei valori medi, rappresentazione di Heisemberg, teorema di Eherenfest.
  5. Evoluzione della varianza spaziale di un pacchetto gaussiano nel formalismo di Heisemberg, formulazione generale del teorema di Eherenfest (nel caso di particella in un potenziale), inversione temporale ed invarianza dell'equazione di Schrödinger.
  6. Enercia cinetica nel pacchetto gaussiano,energia associata alle fluttuazioni, corrente di probabilità per l'equazione di Schrödinger, gradino di potenziale.
  7. Barriera di potenziale effetto tunnel, scattering risonante.
  8. Oscillatore armonico, soluzione classica attraverso le quadrature, operatori di creazione e distruzione, autostati ed autovalori
  9. Elementi di matrice di x e p nella base autostati oscill. arm., non degenerazione dello spettro discreto unidimensionale, teorema di Eherenfest per l'oscillatore armonico, evoluzione di a e a+, problemi  sulla misura in MQ
  10. Oscillatore armonico spostato, stati coerenti
Momento angolare e sistemi a 3 dimensioni
  1. Momento angolare, definizione e espressione nella rappresentazione delle coordinate, regole di commutazione, il momento angolare orbitale come generatore delle rotazioni, autovalori ed autofunzioni simultanei di L2 e Lz
  2. Elementi di matrice di L+ ed L-, elementi di matrice di Lx,Ly per l=1 ed s=1/2. Autofunzioni di Lz, loro dipendenza angolare, esercizi
  3. Espressione degli soperatori del momento angolare nelle coordinate cilindriche, armoniche sferiche, forma esplicita per l=0 ed l=1
  4. Laplaciano in coordinate sferiche, Equazione di Schrödinger nel caso di potenziali centrali, equazione radiale, andamento a piccoli r della parte radiale. Problema dei due corpi separazione delle coordinate baricentrali.
  5. Problema dei due corpi soluzione del problema baricentrale, Hamiltoniane separabili, forma della soluzione generale
  6. Atomo di idrogeno. Formulazione del problema, unità atomiche, soluzione per serie della equazione per la parte radiale, autovalori, degenerazione accidentale, schema dei livelli e loro degenerazione, stato fondamentale
  7. Lo spin come momento angolare intrinseco, spinori, spinori prodotto, esempi. Matrici di Pauli rotazione in SU(2)
Complementi di meccanica quantistica
  1. Composizione dei momenti angolari coefficienti di Clebsch-Gordan.
  2. Esercizi: composizione di due spin s=1/2.
  3. Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo (caso non degenere), correzione al primo ordine ad autostati ed autovalori, correzione al secondo ordine per gli autovalori.
  4. Teoria delle perturbazioni spettro degenere, diagonalizzazione della matrice potenziale e rottura spontanea della simmetria.
  5. Particelle identiche, degenerazione di scambio, postulato di simmetria dello stato, bosoni e fermioni, simmetrizzazione dello stato, determinante di Slater. Princio di esclusione di Pauli, esercizi.
  6. Particelle identiche stato fondamentale di 2 e 3 fermioni di s=1/2 nella buca di potenziale, stato fondamentale di N fermioni energia di Fermi. Stato fondamentale di N bosoni. Esercizi.

Libri di Testo

  1. J. J. Sakurai, Meccanica Quantistica Moderna, Zanichelli (1996), ISBN: 8808127060, ISBN-13: 9788808127068
  2. C. Cohen  Tannoudji et al., Quantum Mechanics, Vol I-II,  John Wiley & Sons, London. Hermann, Paris.
  3. P.A.M. Dirac  Principi della Meccanica Quantistica, Boringhieri

URL del corso:  http://www.aquila.infn.it/ciuchi/index-ddat.html