Corso di Laurea in Fisica (F3F)

III anno, I semestre A.A. 2012/2013

Denominazione dell'insegnamento:

Istituzioni di Fisica Teorica

Codice: F0014

CFU: 12

Docente: Prof. Sergio Ciuchi


Programma Sintetico

Programma Dettagliato

Introduzione

  1. Presentazione del corso. Equazioni di Maxwell ed equazione d'onda in assenza di cariche o correnti, onde progressive e regressive, onde piane, rappresentazione complessa ed autofunzioni del laplaciano, velocità di fase
  2. Onde piane polarizzazione, vettore stato complesso di polarizzazione, prodotto scalre con vettori complessi,polarizzazione circolare, interferenza
  3. Interferenza. Discretizzazione autovalori come risultato di confinamento spaziale. esperimento doppia fenditura, onde di materia esperimento di Merli Missiroli e Pozzi
  4. Dualità onda particella nell'esperimento ideale delle doppia fenditura, esperimento ideale "which path" calcolo della risoluzione in x e k. Esperimento di Stern-Gerlach, analogia con la polarizzazione della luce. Stato di polarizzazione di spin come combinazione lineare.
  5. Ordini di grandezza per le lunghezze d'onda di De Broglie. Relazioni di De Broglie, particella libera e onda piana, velocità di gruppo ed impulso. Equazione di Schrodinger, operatore impulso.
Formalismo
  1. Stato astratto, spazio duale prodotto scalare. Il formalismo di Dirac, Basi ortonormali, rappresentazioni di uno stato astratto, relazioni di completezza.
  2. Operatori lineari elementi di matrice, operatori autoaggiunti, autovettori ed autovalori di operatori autoaggiunti, degenerazione,grandezze fisiche, autostati di grandezze fisiche, significato fisico delle ampiezze di probabilità, misura di una grandezza fisica,
  3. Esercizi, valori in una misura di una grandezza fisica e probabibiltà di ottenerli su di uno stato.
  4. Operatori con spettro continuo, completezza, ampiezza e densità di probabilità. La "funzione" delta di Dirac e la sua rappresentazione gaussiana. Operatore coordinata, autostati della coordinata, elementi di matrice calcolo dei prodotti sclari nella rappresentazione della coordinata. Funzione di un operatore.
  5. L'impulso come generatore infinitesimo della traslazione in meccanica classica, richiami sulle trasformazioni canoniche in meccanica classica e funzione generatrice. L'impulso in Meccanica Quantistica come generatore infinitesimo delle traslazioni
  6. Esercizi calcolo dei coefficienti nell'espansione di uno stato, diagonalizzazione di matrici, esponenziali di matrici
  7. Operatore impulso, autofunzioni ed hermiticità dell'operatore, calcolo di elementi di matrice nella rappresentazione della coordinata, traslazione finita
  8. Gruppo delle traslazioni, sua commutatività, traslazione della funzione d'onda e dello stato astratto. Normalizzazione degli autostati dell'impulso. Rappresentazione degli impulsi, espressione dei prodotti scalari, relazione con la rappresentazione delle coordinate.
Equazione di Scroedinger
  1. Hamiltoniano come genratore infinitesimo del moto classico, Equazione di Schrodinger dipendente dal tempo, evoluzione temporale e sua unitarietà. La rappresentazione dell'energia, equazione di Schrodinger indipendente dal tempo. Il pacchetto gaussiano.
  2. Il pacchetto gaussiano espressione della funzioen d'onda nella rappresentazione degli impulsi evoluzione temporale, calcolo della varianza della distribuzione della posizione nel tempo, prodotto di indeterminazione, invarianza per inversione temporale. Grandezze fisiche compatibili
  3. Base comune di grandezze compatibili, principio di indeterminazione  generalizzato,  commutazione di variabili canoniche, indeterminazione  x,p.
  4. Grandezze che non commutano, variabili canonicamente coniugate in MC e MQ, parentesi di Possion e commutatore. Rappresentazione di Heisenberg, equazioni del moto degli operatori, valori medi e teorema di Ehrenfest. Conservazione dell'impulso e simmetria di traslazione, applicazione all'evoluzione del pacchetto gaussiano.
  5. Quantità conservate in MQ, pacchetto d'onda gaussiano a velocità finita: l'importanza delle fase nella funzione d'onda. Corrente di probabilità, equazione di continuità, velocità di gruppo di un pacchetto. Proprietà generali della soluzione dell'equazione di Schodinger indipendente dal tempo.
  6. Ancora sulle proprietà generali della soluzione dell'equazione di Schodinger indipendente dal tempo. Comportamenti qualitativi per gli stati a una dimensione. Particella in una buca di potenziale autostati ed autovalori, energia di punto zero. Parità degli stati. Esercizi.
  7. Esercizi sistemi unidimensionali e pacchetto gaussiano
  8. Non degenerazione dello spettro discreto ad una dimensione, Buca finita di potenziale autostati e autovalori dello spettro discreto, stima di indeterminazione della energia di punto zero. Gradino di potenziale.
  9. Gradino di potenziale coefficienti di riflessione e trasmissione, limite classico. Barriera di potenziale effetto tunnel e scattering risonante. Esercizi.
  10. Esercizi, pacchetto gaussiano distribuzione delle energie. Particella vincolata in un segmento e particella in una buca di potenziale. Applicazione del teorema di Eherenfest.
  11. Oscillatore armonico, soluzione classica principio di corrispondenza, operatori di creazione e distruzione, derivazione costruttiva degli autostati ed autovalori.
  12. Elementi di matrice di X e P, loro calcolo ed evoluzione temporale nel formalismo di Heisenberg. Teorema di Ehrenfest per l'oscillatore armonico. Esercizi: scattering da delta potenziale attrattivo/repulsivo lunghezza di scattering, stato legato in un delta-potenziale lunghezza di localizzazione.
  13. Oscillatore armonico spostato autostati ed autovalori. Stati coerenti e loro espressione nella base dell'oscillatore armonico.
Momento angolare e sistemi a 3 dimensioni
  1. Momento angolare (MA). MA come generatore infinitesimo delle rotazioni e sua espressione nella rappressentazione delle coordinate, regole di commutazione. Esercizi sistemi unidimensionali.
  2. Autofuzioni simultanee di L^2 ed L_z, derivazione dello spettro. Esercizi sistemi unidimensionali.
  3. Elementi di matrice di L+ L- Lx Ly, espressione degli operatori del momento angolare nelle coordinate sferiche. Esercizi.
  4. Armoniche sferiche, calcolo esplicito per l=0,l=1. Orbitali p. Parità della armoniche sferiche. Esercizi.
  5. Lo spin. Una particella carica di spin 1/2 in un campo magnetico statico. Momento angolare orbitale e spin. Base coordinata/spin, spinori di Pauli. Correzione parziale.
  6. Matrici di Pauli e loro proprietà. Espressione di una generica matrix 2x2 in termini di matrici di Pauli. Rotazione dello spin. Sistemi a due livelli, evoluzione temporale. Momento angolare e coordinata spaziale: regole di commutazione.
  7. Equazione di Schrödinger nel caso di potenziali centrali, equazione radiale, andamento a piccoli r della parte radiale.
  8. Problema dei due corpi separazione delle coordinate baricentrali. Hamiltoniane separabili, forma della soluzione generale. Atomo di Idrogeno unità atomiche ed equazione radiale. Esercizi.
  9. Atomo di Idrogeno soluzione per serie della equazione per la parte radiale, autovalori, degenerazione accidentale, schema dei livelli e loro degenerazione, stato fondamentale. Esercizi.
  10. Composizione di due momenti angolari, coefficienti di Clebsh-Gordan, costruzione della base J_1,J_2,J^2,J_z. Esempio: composizione di due spin 1/2.
  11. Ancora sulla composizione di due momenti angolari. Esercizio precessione dello spin.
  12. Esercizi, stati eccitati per l'atomo di idrogeno. Buca di potenziale tridimensionale oscillatore armonico isotropo soluzione per separazione di variabili e nelle coordinate sferiche.
Complementi di meccanica quantistica
  1. Teoria delle perturbazioni stati non degeneri. Correzione alle energia al rpimo e secondo ordine e correzione agli stati al primo ordine. Esercizi.
  2. Teoria delle perturbazioni spettro degenere: correzione al primo ordine nelle energie e all'ordine zero per gli stati. Rottura spontanea delle simmetria (cenni). Esercizi.
  3. Particelle identiche: simmetria di scambio, operatore di scambio di due particelle e sue proprietà, bosoni e fermioni. Funzioni d'onda simmetriche ed antisimmetriche determinate di Slater principio di Pauli.
  4. Ancora sulle particelle identiche: invarianza di scambio esercizio 2 particelle identiche interagenti e 2 particelle identiche interagenti con un campo esterno: autovalori ed autostati simmetrizzati.
  5. Esercizi. Fermioni confinati in un volume a d=1,2,3 energia di Fermi e sua dipendenza dalla densità. Densità degli stati.

Meccanica Statistica
  1. Meccanica statistica, distribuzione di Maxwell, energia cinetica media, valore atteso secondo la distr. di Maxwell, evoluzione temporale di una distribuziione, teorema di Liouvill
  2. Teorema di Liouville, distribuzione stazionaria, equiprobabilità nell spazio delle fasi occupato, volume dello spazio delle fasi occupato dal sistema, dimensione elementare dello spazio delle fasi, Entropia nella formulazione di Boltzmann
  3. Entropia microcanonica, caso del gas perfetto, relazioni termodinamiche, secondo principio, paradosso di Gibbs, corretto conteggio di Boltzmann
  4. Equilibrio di sistemi chiusi, Distribuzione di Maxwell ricavata dalla distribuzione microcanonica, sistemi indipendenti distribuzione delle energie di singolo sistema. Sistemi chiusi distribuzione canonica.
  5. Insieme statistico canonico: potenziale termodinamico, fluttuazioni della energia, lunghezza d'onda di De  Broglie
  6. Entropia nell'insieme Canonico e formula di Sackur Tetrode, equipartizione della energia, gas perfetto in presenza di un campo esterno, esercizi
  7. Sistemi termodinamici aperti, insieme statistico Grancanonico classico, fluttuazioni del numero di particelle
  8. Equivalenza degli ensemble, Ensemble in meccanica statistica quantistica, somma sugli stati funzione di partizione quantistica di particelle indipendenti distiguibili
  9. Gas perfetti quantistici, Bosoni Fermioni

Libri di Testo

  1. J. J. Sakurai, Meccanica Quantistica Moderna, Zanichelli (1996), ISBN: 8808127060, ISBN-13: 9788808127068
  2. C. Cohen  Tannoudji et al., Quantum Mechanics, Vol I-II,  John Wiley & Sons, London. Hermann, Paris.
  3. P.A.M. Dirac  Principi della Meccanica Quantistica, Boringhieri
  4. K. Huang Meccanica Statistica, Zanichelli (1997), ISBN: 880809152X, ISBN-13: 9788808091529
  5. "Elementi di Meccanica Statistica Appunti del corso A.A. 2008-09" Roberto Raimondi, disponibili nel sito del corso

URL del corso:  http://www.aquila.infn.it/ciuchi/ ---> Didattica ---> Istituzioni di Fisica Teorica