Lezioni svolte AA 2013-2014

30 Set Presentazione del corso
1 Ott Il campo e/m classico come insieme di oscillatori, quantizzazione del campo e/m fotoni, quantizzazione del campo di oscillazione in un solido monoatomico, fononi [Esercizi: 1) ricavare l'Hamiltoniano del campo e/m in termini di impulsi e coordinate generalizzate, 2) ricavare la matrice dinamica di un solido monoatomico in funzione del potenziale di interazione di coppia]
7 Ott campo quantizzato di materia, campi di particelle e loro regole di commutazione/anticommutazione per bosoni e fermioni
8 Ott Operatori a 1 e 2 particelle, esercizi [1) elementi di matrice in un operatore a 2 particelle]
14 Ott diagrammi di interazione, caso del potenziale di coppia in un sistema invariante per traslazione [Esercizio:1) ricavare la forma del potenziale di coppia invariante per tralslazione in 2 quant.], teoria dei campi classica e sua relazione con l'analogo quantistico, fattorizzazioni di campo media: Hartree, Fock, BCS, Rappresentazione di interazione
15 Ott Rappresentazione di interazione, T-ordinamento. Tempo euclildeo ed espressione della matrice densità d'equilibrio di un sistema. Correzioni esercizi. [2) Stati di Gross-Pitaevskij]
21 Ott Correzione al primo ordine per la funzione di partizione, per il potenziale termodinamico per la media di un generico operatore. Risposta lineare, funzione di risposta e funzione di correlazione, limite classico. Esercizi [1) risposta e correlazione per un sistema quantistico di spin indipendenti 2) risposta e correlazione per un sistema di spin classici indipendenti]. Termodinamica: primo e secondo principio, variabili naturali, potenziali termodinamici, trasformazione di Legendre fra potenziali termodinamici.
22 Ott variabili intensive ed estensive, relazione di Gibbs-Duhem. Termodinamica di un sistema in un bagno esterno, disponibilità, stabilità e fluttuazioni termodinamiche.
28 Ott ancora sulle fluttuazioni termodinamiche, variabili intensive ed estensive. Moto Hamiltoniano per N punti materiali, invarianza temporale, teorema del ritorno di Poincarè (solo enunciato). Paradossi di Loschmidt e Zermelo. Ensemble di dati iniziali, medie sull'ensemble. Caso quantistico matrice densità. Evoluzione della densità a N corpi classica e della matrice densità quantistica[1) gli autovalori della matrice densità sono numeri reali positivi].
29 Conservazione dei volumi nel moto Hamiltoniano, ipotesi ergodica, densità stazionaria e densità d'equilibrio. Sistemi mixing. [2) Esercizio 6.4 Reichl 3) Mappa di Arnold]
4 Nov Ergodicità e suo significato, stima del tempo di ricorrenza, primo e secondo teorema ergodico di Birkoff (solo enunciato). Significato della metrica transitività. [1) due esercizi sulla matrice densità]
5 Nov Oscillatori armonici ed ergodicità, densità a cluster per s particelle, matrice densità ridotta, correzione esercizi [3) Dephasing 2) Matrice densità ridotta]
11 Nov Equazione del moto per la densità ridotta a s particelle, gerarchia BBGKY caso s=1 e s=2.
12 Nov dalla gerarchia BBGKY alla equazione di Boltzmann l'ipotesi di caos molecolare, l'equazione di Boltzmann, teorema H. Modello di Kac ed ipotesi di caos molecolare [1) Modello di Kac]
18 Nov Moto di una particella in un bagno esterno, distribuzione Ohmica degli accoppiamenti. Equazione di Langevin, rumore bianco, scorrelazione delle velocità, diffusione in una dimensione. [1) calcolo varianza forze stocastiche, 2) calcolo diffusione, 3) simulazione numerica particella in un bagno]
19 Nov Moto browniano in un campo costante mobilità conducibilità, modello di Drude, relazione di Einstein. Sistemi quantistici aperti evoluzione della matrice densità ridotta, purezza e sua evoluzione, decoerenza di un sistema quantistico aperto. Esercizio: il modello di Kac.
25 Nov Entropia microcanonica, estensività e secondo principio. Formula di Sakur-Tetrode, non estensività della entropia microcanonica, corretto conteggio di Boltzmann.
26 Nov Correzione esercizi. Passaggio dall'insieme microcanonico all'insieme canonico attraverso la riduzione dei gradi di libertà del bagno. Potenziale termodinamico nell'insieme canonico. Fluttuazioni dell'energia. [4) gas di reticolo: calcolo peso statistico.]
2 Dic Passaggio dal canonico al gran canonico fluttuazioni del numero. Equivalenza degli ensemble nel limite termodinamico. Formula generale per il passaggio da un enseble all'altro. Equipartizione generalizzata, teorema del viriale. [1) Insieme isobarico e calcolo potenziale termodinamico nel gas perfetto, 2) gas di reticolo con forze esclusivamente repulsive: calcolo equazione di stato.]
3 Dic Funzioni di correlazione posizionali in un sistema invariante per traslazione g(r) e suo significato, coefficienti del viriale. [3) dimostrare che la rho(1) è costante in un sistema invariante per traslazione]
9 Dic Equazione di stato coefficienti dell'espansione del viriale. Esempio delle sfere dure. Statistiche quantistiche. Gas perfetto quantistico nell'insieme grancanonico. Equazione di stato dei gas quantistici nel limite di bassa degenerazione [1) matrice densità nella rappresentazione della coordinata per particelle libere, 2) Entropia dei gas quantistici nel limite di bassa densità]
10 Dic (C. Pierleoni) Metodo Monte Carlo in meccanica statistica classica.
16 Dic Correzione esercizi. Gas di reticolo, derivazione a partire dalla funzione di partizione canonica classica. Funzione di partizione gran-canonica, equazione di stato per sole interazioni repulsive.
17 Dic Correzione esercizi [1) ancora sull'oscillatore accoppiato, media temporale della energia cinetica, 2) Entropia e temperatura di un sistema di spin non interagenti]. Principio variazionale, distribuzioni microcanonica, canonica [3) Principio variazonale nella sua formulazione per un sistema aperto]. Il principio variazionale nelle sua applicazioni, Hamiltoniane effettive calcolo del funzionale. Il principio variazionale ottenuto dalla teoria delle perturbazioni al primo ordine.
7 Gen Modello di Ising: introduzione, meccanica statistica e termodinamica, magnetizzazione suscettività magnetica. Teoria di campo megio equazione di Curie-Weiss. Teoria di campo medio dalla linearizzazione dell'Hamiltoniano [1) teoria di campo medio nel gas ri reticolo]
14 Gen Teoria di campo medio tramite il principo variazionale, Funzionale di Landau, Rottura spontanea della simmetria. Transizione gas liquido equazione di Van der Waals.
20 Gen Modello di Ising a range infinito e rottura di simmetria, ruolo del limite termodinamico. Teoremi di Lee e Yang (solo enunciato) transizione gas-liquido nel limite termodinamico. Funzione di correlazione/risposta nel modello di Ising lunghezza di correlazione criterio di Ginzburg. Indici critici.
21 Gen Inesistenza delle transizioni di fase a d=1, energia della interfaccia fra due fasi (interazioni a corto raggio),modello di Ising a d=1, dimensionalità critica inferiore. Funzionale di Landau, Numero delle componenti del parametro d'rdine e sua influenza sulla transizoione di fase. Rottura della simmetria continua. Teorema di Mermin e Wagner (solo enunciato). Classi di Universalità. Teoria di campo medio per sistemi quantistici interagenti, disaccoppiamento Hartree, Fock e BCS.
22 Gen Superconduttività nella teoria di campo medio, modello BCS, teoria di campo medio, potenziale di Landau, equazione per il parametro d'ordine, temperatura critica, rottura delle simmetria di gauge.

ESERCIZI SVOLTI

[ 1 ]1) ricavare l'Hamiltoniano del campo e/m in termini di impulsi e coordinate generalizzate, 2) ricavare la matrice dinamica di un solido monoatomico in funzione del potenziale di interazione di coppia]
[ 2 ]1) elementi di matrice in un operatore a 2 particelle]
[ 3 ]1) ricavare la forma del potenziale di coppia invariante per tralslazione in 2 quant. 2) Stati di Gross-Pitaevskij]
[ 4 ]1) risposta e correlazione per un sistema quantistico di spin indipendenti 2) risposta e correlazione per un sistema di spin classici indipendenti 3) termodinamica di un sistema aperto in un bagno esterno, stabilità e fluttuazioni]
[ 5 ]1) gli autovalori della matrice densità sono numeri reali positivi 2) Esercizio 6.4 Reichl 3) Mappa di Arnold]]
[ 6 ]1) due esercizi sulla matrice densità, 2) matrice densità ridotta 3) Dephasing nella matrice densità]
[ 7 ]1) Modello di Kac
[ 8 ]1) calcolo varianza forze stocastiche, 2) calcolo diffusione, 3) simulazione numerica particella in un bagno 4) gas di reticolo: calcolo peso statistico.
[ 9 ]1) Insieme isobarico e calcolo potenziale termodinamico nel gas perfetto, 2) gas di reticolo con forze esclusivamente repulsive: calcolo equazione di stato.3) dimostrare che la rho(1) è costante in un sistema invariante per traslazione,3) dimostrare che la rho(1) è costante in un sistema invariante per traslazione]
[ 10 ] 1) matrice densità nella rappresentazione della coordinata per particelle libere, 2) Entropia dei gas quantistici nel limite di bassa densità
[ 11 ] 1) ancora sull'oscillatore accoppiato, media temporale della energia cinetica 2) Entropia e temperatura di un sistema di spin non interagenti 3) Principio variazonale nella sua formulazione per un sistema aperto
[ 12 ]1) teoria di campo medio nel gas ri reticolo
[ 13 ]1) Equivalenza fra il gas di reticolo ed il modello di Ising, modello di Ising a range infinito