Lezioni svolte AA 2015-2016

05 Ott Il campo e/m classico come insieme di oscillatori, quantizzazione del campo e/m fotoni,Il quantizzazione del campo di materia, stati numero, regole di commutazione/anticommutazione per bosoni e fermioni
06 Ott Operatori di campo, relazione con la I quantizzazione, operatori a 1 e 2 particelle.
12 Ott Teoria di campo classica per un sistema con interazioni di coppia e suo confronto con la teoria quantistica. Disaccoppiamenti di campo medio: Hartree, Foch, BCS. Simmetria di gauge globale e sua rottura nel disaccoppiamento BCS. Rapresentazione di interazione, serie di Dyson.
13 Ott Serie di Dyson, T-ordinamento, tempo euclideo matrice S termica, teoria delle perturbazioni in meccanica statistica d'equiliberio, teoria della risposta lineare.
19 Ott Termodinamica: primo e secondo principio, variabili naturali, potenziali termodinamici, trasformazione di Legendre fra potenziali termodinamici,variabili intensive ed estensive. Termodinamica di un sistema in un bagno esterno, disponibilità, stabilità termodinamica.
20 Ott Fluttuazioni termodinamiche di variabili intensive ed estensive. Relazione sollecitazione risposta. Il problema della meccanica statistica: evoluzione meccanica reversibile, evoluzionie termodinamica irreversibile. Moto Hamiltoniano per N punti materiali, invarianza temporale, teorema del ritorno di Poincarè (solo enunciato). Paradossi di Loschmidt e Zermelo. Sistemi caotici, esponente di Lyapunov (cenni).
26 Ott Correzioni esercizi. Ensembles come distribuzioni su dato iniziale, m,edia su dato iniziale e media di insieme, teorema di Liouville, matrice densità definizione, proprietà, legge di evoluzione. Conservazione dei volumi nello spazio delle fasi.
27 Ott Media temporale definizione di sistema ergodico. Definizione di sistema mixing. Teoremi ergodici di Birkoff (solo enunciato). Metrica transitività e suo significato.
2 Nov Stima del tempo di ricorrenza. Dipendenza delle proprietà ergodiche dall'osservabile, ossservabili somma e teorema di Khinchin (solo enunciato), non equipartizione del gas perfetto. Modello di Fermi-Pasta-Ulam e sua equilibrazione. Densità ridotte per cluster di s particelle, matrice densità ridotta.
3 Nov Evoluzione delle densità ridotte per cluster di s particelle, gerarchia BBGKY, funzione di distribuzione delle velocità, equazione di Boltzmann e ipotesi del caos molecolare.
9 Nov Teorema H e distribuzione di equilibrio delle velocità. Modello di Kac reversibilità e approccio all'equiliberio nell'ipotesi di caos molecolare. Concetto di tipicalità: evoluzione della singola traiettori anell mappa ergodi flow e nella mappa di Arnold. Correzione esercizi.
10 Nov Matrice densità stato puro e miscela. elementi diagonali e coerenze, media temporale delle coerenze. Purezza. Matrice densita ridotta e sua evoluzione. Purezza ridotta e sua evoluzione. Decoerenza e dissipazione.
17 Nov Una particella interagente con N oscillatori armonici, soluzione formale, limite N->oo, densità spettrale e distribuzione Ohmica. Equazione di Langevin nel limite di rumore bianco.
18 Nov Equazione di Langevin in presenza di campo di drift, modello di Drude, mobilità, diffusione in assenza di campo di drift e relazione di Einstein. Termalizzazione della velocità. Caso overdamped equazioen di Langevin e corrispondente Equazione di Fokker-Planck, soluzione stazionaria della equazione di Fokker-Planck.
23 Nov Dalla equazione di Langevin alla equazione di Fokker-Planck. Insieme statistico microcanonico, entropia sua estensività e sua relazione con l'entropia termodinamica.
24 Nov Formula di Sakur-Tetrode. Corretto conteggio di Boltzmann. Riduzione dei gradi di libertà del bagno e passaggio dal microcanonico al canonico. Formula generale per il passaggio da un ensemble ad un altro. Equivalenza degli ensemble.
30 Nov Passaggio dal canonico al grancanonico. Teorema generalizzato di equipartizione della energia. Teorema del viriale, espansione del viriale. Funzione di correlazione di coppia g(r) per un sistema invariante per translazione, espressione del viriale tramite la g(r).
1 Dic Sviluppo in fugacità per gas reali, calcolo coefficiente del viriale, inesistenza transizioni di fase per N finito (cenni). Gas quantistici.
7 Dic Correzione esercizi, sistemi a due livelli e temperature negative. Principio variazionale e sua interpretazione perturbativa.
10 Dic Gas quantistici sviluppo a bassa densità, corretto conteggio di Boltzmann come conseguenza delle statistiche quantistiche, sviluppo al secondo ordine nella fugacità. Teoria di campo medio per il modello di Ising.
14 Dic Correzione esercizi, sfere dure potenziale termodinamico ed entropia. Teoria di campo megio nel modello di Ising, potenziale di Landau nel caso omogeneo, esponenti critici.
15 Dic Calcolo della suscettività e della funzione di correlazione in teoria di campo medio forma di Ornstein-Zernike. Lunghezza di correlazione e suo andamento al punto critico. Funzionale di Landau nel caso non-omogeneo. Classi di universalità ed esponenti classici.
21 Dic La teoria di campo medio ricavata come linearizzazione delle fluttuazioni. Il criterio di Ginzburg e la dimensionalità critica superiore. Il teorema di Mermin e Wagner (solo enunciato) e la dimensionalità critica inferiore. La rottura spontanea della simmetria: il caso del modello di Ising a range infinito.
22 Dic Inesistenza della transizione di fase per N finito, teorema di Lee-Yang (solo enunciato). Influenza del numero delle componenti del parametro d'ordine sulla transizione di fase. Influenza della dimensionalità sulla transizione di fase. Gas di reticolo in teoria di campo medio. Sviluppo a bassa densità.
11 Gen Teoria di campo medio per elettroni interagenti, disaccoppiamnto di Hartree e di Foch. Disaccoppiamento BCS, modello BCS. I fononi come mediatori dell'interazione attrattiva. Linearizzazione dell'Hamiltoniano.
12 Gen Teoria BCS diagonalizzaizone di Bogoliubov eccitazioni del condensato, potenziale di Landau, temperatura critica.
20 Gen (L. Pilo) Interazioni fondamentali e concetto di universalita. Il campo E/M e la simmetria di gauge. Derivata covariante ed interazione. Interazione di uncampo E/M col campo di Higgs e massa del fotone. Lunghezza di penetrazione del campo E/M in un superconduttore.

ESERCIZI SVOLTI

1)
a) Energia del campo elettromagnetico classico
b) Espressione in seconda quantizzazione del potenziale di interazione di coppia
c) Determinate di Slater per 3 fermioni in 3 stati: espressione tramite la seconda quantizzazione.

2)
a) Dimostrare che per un sistema invariante pre traslazione la densità è costante
b) azione della trasformazione di Gauge su un campo, [H,N]=0, Vbcs,N]\=0
c) Teoria delle perturbazioni in meccanica statistica.

3)
a) Potenziale termodinamico nelle variabili T,P,mu
b) Disponibilità,stabilità e fluttuazioni termodinamiche in un sistema in campo magnetico esterno
c) Suscettività di spin classici indipendenti

4)
a) Calcolo della media temporale nell'energia cinetica di un insieme di oscillatori armonici non interagenti
b) Mappa ergodic flow: studio dell' ergodicità e del mixing
c) Mappa di Arnold: studio dell'ergodicità e del mixing, tempo di ricorrenza.

5)
a) Mappa logistica, studio in funzione di r
b) Modello di Kac e sua soluzione di "campo medio"
c) densitò a cluster per una particella

6)
a) matrice denistà confronto fra stato puro e miscela di stati
b) non unicità della matrice densità
c) riesamina degli esercizi su ergodic flow e Arnold

7)
a) Una particella interagente con N oscillatori armonici: media e correlazione del termine di rumore
b) Una particella interagente con N oscillatori armonici: distribuzione del termine di rumore
c) Una particella interagente con N oscillatori armonici: soluzione numerica ad N fissato, termalizzazione e tempo di ritorno

8)
a) spin indipendenti, calcolo microcanonico combinatorio e analitico
b) spin indipendenti, calcolo canonico e sua equivalenza col calcolo microcanico
c) insieme statistico isobarico funzione di partizione e potenziale termodinamico, caso del gas perfetto

9)
a) calcolo della equazione di stato e del potenziale termodinamico per sfere dure a bassa densità
b) coefficiente del viriale nel caso del potenziale Lennard-Jones
c) sviluppo in figacità per gas di Fermi e Bose

10)
a) Principio variazionale nell'insieme grancanonico ed isobarico, validità del principio variazionale in MQ
b) Calcolo della energia libera ad h fissato e a magnatizzazione fissata per spin indipendenti, fluttuazioni termodinamiche.
c) Collasso stellare (Chandrasekhar)

11)
a) Gas di reticolo: equazione di stato.
b) Calcolo del calore specifico, energia libera ed entropia nella teoria di campo medio del modello di Ising.
c) Modello di Ising a una dimensione. Inesistenza della tranzisione di fase.

12)
a) Teoria di campo medio per il modello X-Y
b) Teoria di campo megio per il modello di Ising in campo trasverso.