Esercitazioni Istituzioni di fisica teorica (fisici)
10/10/08 2H
Formalismo della Mecc. quant. spazi lineari, prodotto scalare, stati e decomposizione rispetto ad una base ortonormale completa. Operatori lineari hermitiani, elementi di matrice.
Operatori hermitiani come osservabili. La notazione di Dirac: Bra e Ket.
Eq. Schr. per la particella libera.
13/10/08 2H
Autovalori ed autostati, relazioni di ortonormalità e completezza. Autovalori degeneri e non degeneri. Operatori hermitiani. Commutatori, proprietà dei commutatori. Spettro continuo e discreto. La rappresentazione di Sch. Algebra canonica. La particella libera.
17/10/08 2H
Ancora sulla particella libera. Normalizzazione degli stati dello spettro continuo. Pacchetti d'onda. Doppia degenerazione dell'autostato dell'energia per una particella libera. Inizio della buca di potenziale quadratica.
20/10/08 2H
L'operatore di parità. Teorema di degenerazione per un operatore che commuta con due osservabili non compatibili. Applicazione: degenerazione nella particella libera e cenni sul caso Coulombiano.
Pacchetti gaussiani costruiti con |p>. Calcolo di Delta x e Delta p per un pacchetto gaussiano, indeterminazione minima. Interpretazione fisica.
Buca di potenziale, autostati e stati legati. Condizione per l'esistenza di almeno uno stato legato. Numero si stati legati
24/10/08 2H
Costruzione degli stati di minima indeterminazione per p e q.
Evoluzione temporale: operatori di evoluzione temporale come operatore
unitario. Operatore di evoluzione per una Hamiltoniana che non dipende dal tempo.
27/10/08 2H
Il propagatore ritardato G per l'equazione di S. Calcolo di G per la particella libera e sua interpretazione fisica in termini dell'azione classica. Evoluzione temporale di un pacchetto gaussiano per la particella
libera, velocità di diffusione, discussione fisica. Operatori in rappresentazione di Heisenberg. Variazione dell'indeterminazione nel tempo usando la rappresentazione di Heisenberg.
31/10/08 2H
Densità di probabilità e corrente di probabilità, legge di conservazione. Diffusione in un dimensione. Coefficienti di trasmissione
e riflessione. Esempi: il gradino, effetto tunnel; la buca di potenziale.
Stati legati e coefficiente di trasmissione, trasmissione risonante.
03/11/08 2H
Impulso come generatore delle traslazioni, forma esplicita di una traslazione finita. Azione dell'operatore di traslazione su p q.
Stati in rappresentazione dell'impulso, azione di p e q. Relazione tra gli gli stati in rappresentazione delle coordinate e dell'impulso, trasformata di Fourier. Esercizio sull'evoluzione degli stati per oscillatore
armonico con esempio del teorema del Viriale quantistico.
7/11/08 2H
Correzione degli esercizi assegnati: autostati ed autofunzioni per il potenziale a delta e con due delta; coefficienti di trasmissione e riflessione per il caso con una solo delta; regole di selezione della parità.
Sistema a due livelli, diagonalizzazione, angolo di mixing, evoluzione temporale. Esempi concreti: K0-K0bar, neutrini, maser NH_3, risonanza di spin.
10/11/08 2H
Suggerimenti per gli esercizi assegnati. Ulteriori proprietà della matrice di trasferimento.
Stati coerenti come autostati dell'operatore di distruzione. Proprietà degli stati coerenti utilizzando l'algebra degli operatori di traslazione
spaziale e traslazione nell'impulso.
14/11/08 2H
Soluzione dei due esercizi dati per il parziale.
17/11/08 2H
Equazione di S. per un potenziale costante; applicazione: neutroni termici nel campo gravitazionale terrestre.
Correzione esercizio dato per casa: doppia buca ed evoluzione temporale.
21/11/08 2H
Momento angolare, riepilogo. Costruzione esplicita dell'operatore di rotazione in una direzione generica nel caso j=1/2 usando le matrici di Pauli.
01/12/08 2H
Momento angolare orbitale e sue espressione in rapp. schw.; autostati e autovalori: armoniche sferiche. Parità degli autostati del momento angolare orbitale. Introduzione all'addizione di due momenti angolare,
i coefficienti di Clebch-Gordon come matrice di passaggio tra due
basi ortonormali. Proprietà di base.
Inizio dello studio del caso: j1=1/2, j2=1/2.
12/12/08 2H
Addizione dei momenti angolare. Il problema dei due corpi in mecc. quantistica, caso di forze centrali. Diagonalizzazione simultanea di H, L^2 e L_z. Proprietà generali del sistema unidimensionale equivalente per la funzione d'onda radiale; comportamento all'infinito e comportamento in vicinanza dell'origine. Alcuni esempi da esaminare successivamente: particella libera, oscillatore isotropo, potenziale Coulombiano; discussione preliminare della natura della degenerazione dei livelli.
15/12/12 2 H
Potenziali centrali. Particella libera: funziona d'onda radiali in termini
della funzioni di Bessel di ordine l+1/2. Sviluppo di un'onda piana in armoniche in polinomi di Legendre. Oscillatore armonico sferico, autostati
usando gli operatori di creazione e distruzione, confronto con le soluzioni
in coordinate sferiche, degenerazione dell'energia, simmetria nascosta U(3)
come causa della degenerazione accidentale.
Il potenziale Coulombiano. Richiamo del teorema di Bertrand sulla chiusura delle orbite classiche nel caso r^2 e 1/r; il vettore di Lenz.
L'effetto isotopico. Risoluzione dell'equazione si S. nel caso Kepleriano usando il metodo di Frobenius, quantizzazione dei livelli, il raggio di Bohr, scale delle energie atomiche: il Rydberg.
Degenerazione n^2 dei livelli.
19/12/08 2H
Natura della degenerazione Coulombiana: il vettore di Lenz, costruzione algebrico dello spettro dell'atomo di idrogeno. Esercizio sulle funzioni radiali dell'atomo di idrogeno: proprietà a piccole distanze e a grande distanza. Esercizio sulla natura dello spettro per il potenziale 1/r^s al variare
di s.
9/01/09 2H
Particelle identiche, osservabili per un sistema di particelle identiche.
Operatore di scambio e suoi autovalori. Stati per il sistema di due particelle identiche: lo stato fondamentale dell'atomo di elio.
Il principio di esclusione di Pauli. Bosoni e fermioni. Enunciazione del teorema di spin e statistica.
Richiami sulle equazioni di Maxwell: potenziale vettore e scalare, invarianza di gauge. Lagrangiana e Hamiltoniana di una particella carica
in un campo em.
12/01/09 2H
Invarianza di gauge in meccanica quantistica, trasformazione del vettore di stato. Effetto Aharanov-Bohm.
19/01/09 2H
Particella in un campo magnetico costante: Livelli di Landau.
Teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo, caso non degenere.
Es. correzione dovuto all'interazione tra gli elettroni all'energia dello
stato fondamentale dell'atomo di elio.
20/01/09 2H
Esempio di n caso un cui la teoria delle perturbazioni fallisce: buca poco
profonda. Perturbazioni indipendenti dal tempo, caso degenere cenni.
Perturbazioni dipendenti dal tempo. Regola d'oro di Fermi nel caso di una perturbazione "costante" e di una armonica che si accendono a t=0.
Indeterminazione dell'energia. Emissione ed assorbimento stimolati e bilancio dettagliato.
Tot. ore 40
Esercitazioni corso di Fisca (Matematici)
10/10/08 2H
Eq. di Maxwell e unita di misura. Derivazione dalle eq. di Maxwell della conservazione dell'energia: densità di energia del campo EM e vettore di Poynting; esempi: onda em piana.
Polarizzazione di un'onda monocromatica piana: polarizzazione lineare e circolare; stati di polarizzazione come vettori in C^2.
17/10/08 2H
Il formalismo alla Dirac. Esercizio sulla lunghezza d'onda di de Broglie di neutroni lenti. Esercizio sul polarizzatore: dalla legge di Malus alla probabilità che un singolo fotone attraversi il polarizzatore.
24/10/08 2H
Ancora sugli esperimenti con il polarizzatore. Stern-Gerlach: stati
corrispondenti alle misure di spin, necessita di una spazio complesso.
Operatori Sx, Sy, Sz e le loro regole di commutazione.
31/10/08 2H
Operatore di traslazione spaziale finita come operatore unitario e la sua azione p e q.
Rappresentazione delle coordinate, funzione d'onda, prodotto scalare, azione di p. Rappresentazione dell'impulso, funzione d'onda in rappresentazione dell'impulso, azione di q. Operatore di traslazione di p.Relazione tra la rappresentazione dell'impulso e delle coordinate: trasformata di Fourier.
13/11/08 2H
L'operatore di parità e la sua azione su p e q. Autostati di una Hamiltoniana con potenziale pari, sua diagonalizzazione simultanea con la parità. Valori possibili per l'energia quando il potenziale è limitato inferiormente. Irrilevanza fisica dello zero del potenziale.
14/11/08 2H
La buca di potenziale quadrata: stati legati pari e dispari, numero di stati legati. Il limite di buca infinita e conseguenti condizioni
al bordo. Spettro della buca infinita.
Stati di scattering per la buca quadrata, discussione fisica per eventi di diffusione. I coefficienti R e T.
21/11/08 2H
Esercizio sulla buca di potenziale infinita: evoluzione temporale, vettori vs raggi dello spazio di Hilbert, parità.
11/12/08 2+2 H
Sistemi a due livelli: esempi e soluzione nei vari casi
Momento angolare: valori medi di L_i ed L_i^2, indeterminazione.
S=1/2: operatori di rotazioni, matrici di Pauli e loro proprietà.
Forma esplicita dell'operatore di rotazione in direzione n di angolo theta per s=1/2. Esercizi su s=1/2.
19/12/08
Natura della degenerazione Coulombiana: il vettore di Lenz, costruzione algebrica dello spettro dell'atomo di idrogeno. Esercizio sulle funzioni radiali dell'atomo di idrogeno: proprietà a piccole distanze (momento angolare) e a grande distanze (stato legato o meno).
Enunciazione del teorema di Bertrand classico sulle orbite chiuse e la sua controparte in mq con la degenerazione accidentale.
Inizio oscillatore armonico isotropo.
9/01/09 2H
L'oscillatore isotropo, stati degenerazione accidentale.
Richiami sulle equazioni di Maxwell: potenziale vettore e scalare, invarianza di gauge. Lagrangiana e Hamiltoniana di una particella carica in un campo em.
Invarianza di gauge in meccanica quantistica, trasformazione del vettore di stato e di H tramite un operatore unitario. Inizio discussione effetto Aharanov-Bohm.
16/01/09 2H
Conclusione effetto Aharanov-Bohm. Livelli di Landau per una particella in un campo magnetico costante.
Tot. 24 ore